Modelagem Matemática - Funções de 1˚ grau como Modelo Matemático

Resumo

     Este trabalho se propõe a associar situações do cotidiano à funções de 1˚ grau, porém para isso será necessário que as situações aqui comentadas deem suporte à esse tipo de função, pois a mesma relaciona dois conjuntos numéricos envolvidos de forma uniforme e sem variação ao longo de seu desenvolvimento, ou seja, é representado como uma reta.

     Iremos selecionar 3 situações reais e expressá-las em forma de equação, feito isso iremos fazer algumas simulações e resolver as equações, extraindo tudo o que pudermos das tais funções.

Introdução

     Geralmente, em sala de aula, os exemplos do conteúdo que estamos aprendendo são situações próximas de nosso cotidiano, por exemplo: Em uma aula de cinemática, quando estamos estudando o MRU os exemplos mais utilizados são de um veículo que parte de um ponto A e segue até um ponto B em velocidade constante, então aprendemos a extrair várias informações desta situação. É claro que esses são excelentes, senão, os melhores exemplos para o aluno enxergar a situação com maior facilidade, mas todos nós sabemos que é praticamente impossível um veículo seguir com uma velocidade constante. Sei também que esta questão é considerada nas aulas por isso da velocidade média. Porém neste trabalho eu gostaria de trazer ao menos duas situações que realmente se comportem como uma função de 1˚ grau. É um pouco difícil trazer à memória, mas basta pensar um pouco e veremos inúmeras situações. Um bom exemplo é a velocidade da luz, uma aplicação muito prática e usual é a de se descobrir as distâncias entre os corpos celestes.

Objetivo

     Iremos trabalhar em 3 situações que pertençam à vida real da seguinte forma:

          Encontrar situações que se comportem como uma função de 1˚ grau;

          Equacionar estas situações;

          Submeter estas equações a alguns valores para simular e testar; Resolver as funções atribuindo alguns valores para x e por consequência para y;

          Encontrar o f(0);

          Desenhar o gráfico;

          Obter o Domínio / Imagem;

          Fazer o estudo dos sinais;

          Crescimento / Decrescimento da curva;

          Encontrar o zero da função;

Procedimentos Executados:

     Situações abordadas:

          Calcular o número de rotações de um HD em função do tempo;

          Conversão de graus Fahrenheit para Celsius;

          Conversão de radianos para graus;

Calcular o número de rotações de um HD em função do tempo

     Em um HD que gira a uma rotação de 7200RPM, sabemos que para cada 1 minuto o disco da 7200 voltas, logo para x minutos tenho y voltas que é a multiplicação de x minutos por 7200RPM.

 

 

Conversão de graus Fahrenheit para Celsius

     Tenho observado que conversões de unidades de medida geralmente se comporta como uma função de 1˚ grau, pois à medida que x varia, y acompanha a variação uniformemente.

     Neste exemplo vamos analisar uma escala de ˚C e outra de ˚F alinhada adequadamente, pois sabemos que 0˚C é igual a 32˚F

 

     Observando as escalas acima (˚C e ˚F), levantei alguns valores com o máximo de precisão possível e coloquei em forma de tabela (abaixo).

     Com os valores da tabela posso fazer o gráfico para visualizar curva e posso chegar ao coeficiente angular desta curva dividindo, exemplo:

Agora sei que o 0.5555 é apenas a inclinação da curva.

Colocando o y em evidência a função começa a aparecer.

, mas ainda está incompleta, porém olhando para a tabela vejo que ao atribuir x=32 obtenho y=0.

Agora só preciso subtrair 17.7777 na equação.

generalizando: 

 

Esta é a minha situação de conversão de graus Fahrenheit para Celsius equacionada.

Contextualizando: 

 

     Iremos atribuir algumas entradas para ˚C confirmar se a função está de acordo com as escalas apresentadas no inicio.

Conversão de radianos para graus

     Uma situação que nos deparamos com frequência nas aulas de trigonometria é a de calcularmos os valores dos arcos na circunferência trigonométrica.

     Por trabalharmos com duas unidade de medida (graus e radianos), geralmente temos de fazer conversões entre as tais.

     A dedução da relação vem emser equivalente a 180˚, daí temos uma proporção de 1 para 180˚ e fica:

, onde:

x é o valor que multiplica o( é referente aos radianos )

y é que queremos obter ( os graus ).

Isolando o y teremos:

 

, se simplificarmos teremos:

 

, para contextualizar a função diremos: 

Bibliografia

Temperatura - Wikipédia, a enciclopédia livre, 4/11/2010,
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Temperatura>

Grau Celsius - Wikipédia, a enciclopédia livre, 4/11/2010,
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Grau_Celsius>

Grau Fahrenheit - Wikipédia, a enciclopédia livre, 4/11/2010,
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Grau_Celsius>

Sistemas de equações - Exatas, 4/11/2010,
<http://www.exatas.mat.br/sistemas.htm>

Vicente, Emanuelle L. e Sodré, Ulysses,
Ensino Médio: Sistemas Lineares - Sercomtel, 4/11/2010,
<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/sistemas.htm>

Modelagem Matemática - Introdução

O que é Modelagem Matemática?

    Modelagem matemática é a tradução de uma situação real para as relações numéricas, com o objetivo de se prever essa situação em uma escala não tangível, ou seja, simular um comportamento usando ferramentas matemáticas relacionadas de tal forma que seja possível obter dados aproximados aos reais caso esta situação fosse realmente executada. Às vezes estas situações são diferentes mas são regidas pelas mesmas filosofias.

    Existem diversas aplicações para a modelagem matemática, desde o controle de pragas na lavoura até a previsão meteorológica, ela pode ser usada para o estudo do comportamento de partículas sub-atômicas, mas também aparece em semelhança de triângulos, crescimento de cidades, trafego urbano, movimento da água, entre outros.

    Com o advento da informática e as tarefas sendo cada vez mais realizadas por máquinas, houve a necessidade de se estudar comportamentos para que os sistemas informáticos pudessem “tomar” decisões.

    Hoje a modelagem matemática tem sido uma grande aliada no ensino afim de despertar o raciocínio lógico, a criatividade e o senso crítico no aluno.

O que é um Modelo Matemático?

    Um modelo matemático, como o próprio nome já diz, é um modelo, um molde que representa determinada situação na natureza ou não, este molde é delimitado afim de “forçar” a situação em questão para que ela continue se comportando seguindo as mesmas proporções na qual foi deduzida.

    Um função matemática por ex.: é um modelo matemático, pois a imagem de f(x) será o reflexo das relações que “x” sofrerá no motor da função, ou seja, em seu interior. Por exemplo: f(x) = x + 3, a imagem será acrescida de 3 unidades para qualquer x є IR, isto “força” um comportamento, um padrão, uma proporção, estabelece uma regra, cria uma conexão entre “x” e “y” e esta conexão é efetuada pela “caixa-preta” da função cuja as regras internas são armações matemáticas coerentes.

Quais são as etapas necessárias para se estabelecer um modelo matemático?

    Penso que para se modelar uma situação é preciso observação à tal, é necessário registrar o formato da situação, digo isso em nível até mesmo geométrico, pois quando olho para algum objeto, acredito que, em meu cérebro, este objeto é gerado geometricamente para que eu possa entender o seu formato, suas delimitação geométricas, analogamente, uma situação também toma forma, ainda que em nível abstrato, até que eu possa perceber suas delimitações e definir este formato de modo mais compreensível, como uma sucessão de traduções até chegar à um nível alto o suficiente que possa ser escrito usando alguma linguagem que no caso são as relações numéricas com “n” variáveis que, se submetidas à alguns valores, deverá reconstruir ou simular a situação original.

Em poucas palavras, para se modelar uma situação o modelador deve:

• observar a situação;

• fazer um levantamento dos requisitos necessários para que esta situação ocorra;

• montar um sistema matemático que represente esta situação;

Exemplos de Modelos Matemáticos:

    Na divisão 4/2, eu quero expressá-la em forma de multiplicação.

Entendendo a divisão:

    Tenho 4 unidade e quero separá-las em 2 grupos de quantidade iguais cada um, terei em cada grupo 2 unidades. Desta forma eu entendi o mecanismo da divisão, agora vou traduzi-lo para a multiplicação de forma a obter o mesmo resultado:

• Tenho 4/2=2;

• Escrevo no formato de multiplicação: 4x=2 => x=2/4 => x=0,5; então: 4*0,5=2

• Testo outros valores pra constatar minha teoria e fazendo isso vou perceber que em todas as multiplicações que simulam a divisão o meu “x” está dentro do intervalo de 0 à 1, daí posso extrair uma função:

d(n,x)=n*x

Dom n = {n є IR}

Dom x = {x є IR / 0 <= x <= 1}

Im d(n,x) = {y є IR}

    Claro que este é um exemplo simples em que eu modelei uma situação matemática para outra. O grande desafio está em fazer isso com situações reais, mapear suas diversas variáveis e condições afim de formar um sistema.

    Tenho alguns exemplos dos quais já tenho observado e outros que cruzaram meu caminho neste curso.

    Nesses dias, nas aulas de trigonometria, tivemos alguns exercícios onde tínhamos de calcular o ângulo formado pelos ponteiros de um relógio analógico.

ex.: 4h43 (quatro horas e quarenta e três minutos)

    Estudando os passos para chegar ao resultado deste e de outros semelhantes a este, observei que o algoritmo era o mesmo, então montei uma função em que entro com a hora e o minuto e ela me retorna o ângulo em graus.

a°(h,m) = | 30h – 5,5m |

Dom h = {h є IN / 0 <= h <= 11}

Dom m = {m є IN / 0 <= m <= 59}

Im a° = {a° є IR / 5,5° <= a° <= 330°}

    Um outro exemplo que vou colocar aqui é uma situação um tanto inútil, mas curiosa, aliás, várias descobertas importantes do passado foram baseadas em observações inicialmente desprezíveis.

    A alguns anos, olhando para um CD, reparei que a parte onde há algo gravado fica visualmente destacada em relação ao restante do disco devido o fechamento dos micro orifícios ( sulcos ) que o laser provoca, então resolvi medir os raios das circunferências externa e interna do CD e da marcação que continha a informação salva, calculei a área de destas circunferências e cheguei à quantidade de megabytes usados no disco.

Ad – Ai = CT

Au – Ai = U

onde:

Ad: Área do disco

Ai: Área inútil

Au: Área útil

CT: Capacidade Total (MB)

U: Usado (MB)

então:

U = CT(Au – Ai) / (Ad – Ai)