Desenhar um gráfico no plano cartesiano é uma tarefa relativamente simples, pois em uma equação do tipo: y = f(x) basta encontrar o 'y' resolvendo a equação atribuindo-se valores para 'x' ( desde que satisfaça o domínio ) e com o par ( x e y ) marcar o ponto no plano cartesiano, fazendo isso n vezes e juntando os pontos teremos o aspecto visual de uma curva no plano.
Muito bem, já o contrário, ou seja, obter a equação a partir de uma curva, não é tão simples assim.
Existem várias técnicas para se fazer isso e a técnica a ser usada também dependerá do tipo e complexidade da curva, por exemplo, se você deseja obter a equação de uma reta no plano, poderá fazer isso sem maiores problemas, pois usando-se a trigonometria com o auxílio da geometria é possível chegar à tal equação. Mas se a sua curva é um pouco mais complexa, você terá de usar alguma técnica mais sofisticada como séries de Fourier ou o método dos mínimos quadrados, ou outras inúmeras formas. Já se a sua curva não for nem tão simples, nem tão complexa assim, ou seja, se for algo parecido com uma parábola (figura 1), você poderá fazer uso da técnica que vou explicar aqui.
Na verdade, quando terminei de escrever este post cheguei à um modelo que pode ser usado de forma bem simples, ou seja, vou explicar passo-a-passo como chegar ao modelo, mas se você precisar somente usar a fórmula a encontrará no final desse texto.
figura 1
Então vamos lá:
Digamos que você tenha uma curva desenhada no papel e precise de uma equação que represente esta curva.
1 - Mapeando os pontos:
Você terá de sobrepor o plano cartesiano à curva, ou seja, terá de desenhar o plano de maneira que consiga extrair valores dessa curva, pois sem o plano você tem uma curva solta no papel, um rabisco, e assim não pode contar valores para 'x' nem para 'y', ou seja, não encontrará pontos ( pares ordenados ) e sem pontos, sem calculo.
Essa tarefa pode ser feita facilmente usando-se uma régua e desenhando-se uma reta que represente a abscissa e outra que represente a ordenada. Você pode também fixar o valor zero ( encontro dos dois eixos ) deste plano no início da curva, assim um dos pontos já teria a coordenada A(0, 0) o que facilitaria o cálculo (figura 2).
Observe que neste exemplo estamos obtendo a equação de uma parte da curva, ou seja, em um intervalo, se você quiser obter a equação da curva toda, terá de repetir o processo em cada intervalo desde que ele se pareça com uma parábola e se enquadre nas condições descritas no primeiro parágrafo.
figura 2
Levantar um segundo ponto B que será o vértice da parábola ou também conhecida como o ponto máximo ou mínimo da curva, dependendo de sua concavidade. Este seria o ponto cuja a derivada da equação, caso a tivéssemos, seria zero, mas como não temos a equação, não podemos calcular a derivada.
Para se encontrar o vértice de uma parábola sem ter sua equação basta medir seu comprimento em 'x' e dividi-lo por 2, encontrará Bx. Depois encontrar o valor de 'y' para este Bx, assim terá By. Estas são as coordenadas de B(Bx, By).
Os pontos:
A(0, 0);
B(Bx, By);
No exemplo:
A(0, 0);
B(26, 15)
figura 3
figura 4
2 - Deslocando a curva:
O objetivo desta etapa é de deslocar a curva toda de forma que o vértice ( ponto B ) esteja posicionado no ponto zero do plano. Isso fará com que o coeficiente 'c' da equação polinomial de segundo grau seja eliminado dos cálculos, o que simplificará a tarefa.
Para se fazer isso siga as instruções a baixo:
A fim de manter a integridade da curva, ou seja, sua forma e relações, você terá de fazer as alterações cuidadosamente.
O ponto B que tem as coordenadas (Bx, By), passará a ter as coordenadas do ponto A que são (0, 0).
O ponto A que tem as coordenadas (0, 0), passará a ter as coordenadas do ponto -B que são (-Bx, -By).
Uma vez feito isso, todo e qualquer cálculo feito de agora em diante estará sobre estes novos pontos que chamaremos de A' (A linha) e B' (B linha).
Os novos pontos:
A'(-Bx, -By);
B'(0, 0);
No exemplo:
A'(-26, -15);
B'(0, 0);
figura 5
3 - Calculando o coeficiente 'a' da equação polinomial de segundo grau.
Sabemos que a forma geral de uma equação polinomial de segundo grau é: y = f(x) = ax² + bx + c, porém se as coordenadas do vértice forem Vx=0 e Vy=0, então c=0, ou seja, podemos eliminar o coeficiente 'c' assim a equação passa a ser mais simples e podemos representá-la da seguinte forma: y = f(x) = ax² + bx.
Se o vértice é Vx=0 e Vy=0 e o coeficiente c=0 e Vx = -b / 2a, então -b / 2a = 0. Sabendo que não há divisão por zero deduzimos que o coeficiente b=0.
Sendo c=0 e b=0, podemos usar o seguinte formato: y = f(x) = ax² para determinar o ponto A', pois o ponto A' pertence à curva.
Segue:
a = -15 / 676
a = ~-0,02218934911
Montando a equação temos:
y = f(x) = ~-0,02218934911x²
Esta é a equação da curva cujos pontos pertencentes à ela são A' e B'.
4 - Deslocando a curva ao seu lugar de origem.
Isto significa introduzir valores para os coeficientes 'b' e/ou 'c' e para isso seguiremos os seguintes métodos.
Basta calcular o vértice para o ponto B e não mais para o ponto B'.
E fica:
B(26, 15);
Vx = Bx = 26 e
a = A'y / A'x² = ~-0,02218934911
Então:
26 = -b / (2 * ~-0,02218934911)
desenvolvendo:
26 = -b / ~-0,04437869822
-b = ~-0,04437869822*26
-b = ~-1,15384615384
b = ~1,15384615384
Agora basta encontrar o valor do coeficiente 'c'.
O coeficiente 'c' representa onde a curva toca o eixo 'y' e neste caso a curva toca em y=0, ou seja, o valor do coeficiente 'c' continua sendo zero.
Sabendo os valores de 'a', 'b' e 'c' temos condições de escrever a nossa equação polinomial de segundo grau em sua forma geral, que fica:
e finalmente:
y = f(x) = ~-0,02218934911x² + ~1,15384615384x
Esta equação representa a curva que inicialmente havíamos desenhado no papel, mas que não tínhamos naquele momento sua equação.
A primeira coisa que fizemos foi julgar visualmente o aspecto da curva para identificamos com qual funções já conhecidas se parecia.
Percebemos que a curva se afeiçoava com um função polinomial do segundo grau, ou seja, alguma função polinomial do segundo grau poderia nos dar aquele gráfico.
Após isso começamos aplicar o método explanado.
Após este trabalho montei uma fórmula que faz tudo isso que tratamos acima de uma única vez:
Usando este modelo você não precisará fazer nada que explanamos acima, como deslocamento de curva e cálculos de vértice, etc.., exceto encontrar os pontos A e B ( não são necessários os pontos A' e B' ). Basta substituir os valores dos pontos na fórmula e deixar o 'X' ( maiúsculo ) indicado, pois ele será a variável independente na equação.
Exemplo:
Sendo os nosso pontos iniciais:
A(0, 0);
B(26, 15);
Fica:
y = f(X) = -ByX² / Bx² + 2ByX / Bx
y = f(X) = -15X²/26² + 2*15X/26
y = f(X) = -15X²/676 - 30X/26
y = f(X) = -~0,02218934911X² + ~1,15384615384X Observe que o resultado é o mesmo do exemplo citado logo acima no desenvolvimento da fórmula.
Bom, espero que este post ajude a clarear os modelamentos das curvas e sirva de ferramenta de trabalho e estudo.. até mais..
